根号を含む式の計算

数学

2021.07.22 2020.06.05

実数aに対し、2乗するとaになるような数をaの平方根という。a>0のとき、aの平方根は正と負の2つあり、それぞれ $+\sqrt{a},-\sqrt{a}$ と表す。また、a=0のとき、aの平方根は0、すなわち $\sqrt{0}=0$ である。a<0のとき、aの平方根は実数の範囲には存在しない。

平方根の計算規則

formula

$\sqrt{a^2}=|a|$
$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\ \ \ \ \ (a>0,b>0)$
$\sqrt{m^2a}=m\sqrt{a}\ \ \ \ \ (a>0,m>0)$

分母の有理化

分母に根号を含む式を、根号を含まない式に変形することを分母の有理化という。

例えば $\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$ というような形で表される式は分母と分子に $\sqrt{b}-\sqrt{c}$ を掛けることで有理化することができる。

（例）

\(\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{a}{(\sqrt{b}+\sqrt{c})}\frac{(\sqrt{b}-\sqrt{c})}{(\sqrt{b}-\sqrt{c})}=\frac{a(\sqrt{b}-\sqrt{c})}{b-c}\)

二重根号

formula

$\sqrt{a+b\pm2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}\pm\sqrt{b}$
(ただしa>b)

例えば、 $\sqrt{n\pm\sqrt{m}}$ というような式に対して、 $a+b=n,4ab=m$ を満たすようなa,bの組み合わせを見つければ二重根号を外すことができる。