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根号を含む式の計算

実数aに対し、2乗するとaになるような数をaの平方根という。a>0のとき、aの平方根は正と負の2つあり、それぞれ\[+\sqrt{a},-\sqrt{a}\]と表す。また、a=0のとき、aの平方根は0、すなわち\[\sqrt{0}=0\]である。a<0のとき、aの平方根は実数の範囲には存在しない。

平方根の計算規則

formula

  1. \[\sqrt{a^2}=|a|\]
  2. \[\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\]
  3. \[\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\ \ \ \ \ (a>0,b>0)\]
  4. \[\sqrt{m^2a}=m\sqrt{a}\ \ \ \ \ (a>0,m>0)\]

分母の有理化

分母に根号を含む式を、根号を含まない式に変形することを分母の有理化という。

例えば\[\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\]というような形で表される式は分母と分子に\[\sqrt{b}-\sqrt{c}\]を掛けることで有理化することができる。

(例)

\[\begin{eqnarray}\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\\&=&\frac{a}{(\sqrt{b}+\sqrt{c})}\frac{(\sqrt{b}-\sqrt{c})}{(\sqrt{b}-\sqrt{c})}\\&=&\frac{a(\sqrt{b}-\sqrt{c})}{b-c}\end{eqnarray}\]

二重根号

formula
\[\sqrt{a+b\pm2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}\pm\sqrt{b}\]
(ただしa>b)

例えば、\[\sqrt{n\pm\sqrt{m}}\]というような式に対して、a+b=n,4ab=mを満たすようなa,bの組み合わせを見つければ二重根号を外すことができる。

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数の分類と実数の性質、絶対値の性質

数の分類

0に1ずつ加えていくことで得られる数の総称を正の整数(または自然数)という。逆に0から1ずつ減じていくことで得られる数の総称を負の整数という。正の整数と負の整数および0をまとめて整数という。

整数nと0でない整数mを用いて\[\frac{n}{m}\]で表すことができる数を有理数という。あらゆる整数はその整数自身と1の商で表せられるため有理数である。整数でない有理数には小数点以下の桁数が有限個で終わる有限小数と小数点以下のある桁から同じ数字の列が無限に繰り返される循環小数がある。

小数点以下が無限に続くような小数のことを無限小数という。無限小数のうち、循環小数でない数のことを無理数という。

実数の性質

実数同士の計算について、以下の法則が成り立つ。

formula
交換法則:a+b=b+a,ab=ba
結合法則:(a+b)+c=a+(b+c),(ab)c=a(bc)
分配法則:a(b+c)=ab+ac,(a+b)c=ac+bc

自然数同士の和と積は自然数となる。また、整数同士の和・差・積は整数となり、有理数同士、実数同士の和・差・積・商はそれぞれ有理数、実数となる。

数直線と絶対値

直線上に2点O,Eをとり、線分OEの長さを1と定義することで直線上の点と実数を対応させることができ、この直線を数直線という。また、数直線上の点Aに対応する実数aを点Aの座標といい、A(a)と表す。

原点Oから点Aまでの距離OAをaの絶対値といい、|a|と表記する。a≧0のとき|a|=a、a<0のとき|a|=-aとなる。絶対値について、a,bが実数のとき、次の性質が成り立つ。

formula
\[|a|=\left\{\begin{array}{11}a&(a≧0)\\-a&(a<0)\end{array}\right.\]
\[|a|=|-a|,|a|^2=a^2,\\|ab|=|a||b|,|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}\]
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因数分解

2次の因数分解の公式

formula

  1. \[a^2\pm2ab+b^2=(a\pm{b})^2\]
  2. \[a^2-b^2=(a+b)(a-b)\]
  3. \[x^2+(a+b)x+ab\\=(x+a)(x+b)\]
  4. \[acx^2+(ad+bc)x+bd\\=(ax+b)(cx+d)\]
  5. \[a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\\=(a+b+c)^2\]

因数分解の公式は乗法公式を逆に利用することで得られる。

因数分解の方法

以下、因数分解を行う際の工夫等について列挙する。

  • 各項の共通因数をくくりだし、公式が利用できるか検討する。
  • たすき掛けの方法を用いる。
  • 最も次数の低い文字について整理する。
  • 式の一部を一つの文字に置き換える。
  • 因数定理(数Ⅱ)を利用する。
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指数法則と整式の乗法

指数法則

formula

  1. \[a^ma^n=a^{m+n}\]
  2. \[(a^m)^n=a^{mn}\]
  3. \[(ab)^n=a^nb^n\]

単項式の乗法は上記の指数法則によって計算できる。

乗法公式

formula

  1. \[(a\pm{b})^2=a^2\pm2ab+b^2\]
  2. \[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\]
  3. \[(x+a)(x+b)\\=x^2+(a+b)x+ab\]
  4. \[(ax+b)(cx+d)\\=acx^2+(ad+bc)x+bd\]
  5. \[(a+b+c)^2\\=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\]
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整式の加法・減法

計算の基本法則

formula
交換法則:A+B=B+A,AB=BA
結合法則:(A+B)+C=A+(B+C),(AB)C=A(BC)
分配法則:A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC

整式の加法・減法

2つの整式A、Bについて、各項をまとめてそれぞれ加える(減じる)ことで計算することができる。

(例)

\[A=x^2+2x+1, B=2x^2+3x\]のとき、

\[\begin{eqnarray}A+B&=&(x^2+2x+1)+(2x^2+3x)\\&=&(1+2)x^2+(2+3)x+1\\&=&3x^2+5x+1\end{eqnarray}\]

\[\begin{eqnarray}A-B&=&(x^2+2x+1)-(2x^2+3x)\\&=&(1-2)x^2+(2-3)x+1\\&=&-x^2-x+1\end{eqnarray}\]

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